Между каждой кривой и ее огибающей устанавливается соответствие по точкам, именно по точкам взаимного касания.
Обратив движение, т. е. переменив роли подвижной и неподвижной полодии, найдем, что переменятся и роли наших кривых. Поэтому кривые эти можно назвать сопряженными, или взаимными.
Одну из сопряженных кривых можно задать произвольно, тогда при известном движении получим вторую кривую как огибающую. Но для получения обеих сопряженных кривых одновременно можно поступить, пользуясь следующей теоремой Камгсса.
«Две траектории одной и той же точки, связанной с произвольной кривой, при качении последней по подвижной и неподвижной полодиям, суть кривые сопряженные».
Так строят циклоидальные профили зубчатых колес.
Указанное выше соответствие плоскостей по элементам, точка—кривая есть особый случай (вырождения) соответствия по сопряженным кривым.
Геометрическая интерпретация Пуансо
Обе полодии одинаковы. Каждая траектория представляет увеличенный вдвое подэр неподвижной полодии относительно взятой точки.
В этом мы убеждаемся из симметричного расположения обеих полодий относительно их общей касательной.
В виде примера рассмотрим качение равных конических сечений друг по другу. Если это — эллипсы или гиперболы, то каждый из фокусов описывает круг, а потому движение может быть осуществлено механизмом, известным под названием шарнирного антипараллелограма. При неподвижном коротком звене получаем эллиптические полодии, при неподвижном длинном — гиперболические. При качении двух равных парабол фокус описывает прямую.